Азамат Бейспеков родился в 1985 году. Окончил Карагандинский государственный университет им. Е. Букетова. В разные годы работал в структуре комитета таможенного контроля, в министерстве индустрии и новых технологий, в канцелярии премьер-министра, в администрации президента, в Совбезе. До нового назначения был руководителем аппарата министерства труда и социальной защиты населения.